Question

函数f（x）=sin（2x+φ），（|φ|＜

π

2

）向左平移

π

6

个单位后是奇函数．
（1）求φ
（2）函数f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，结合正弦函数的对称性求得φ的值．
（2）由（1）可得 f(x)=sin(2x-

π

3

)，根据0≤x≤

π

2

，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）函数f(x)=sin(2x+φ)，(|φ|＜

π

2

)向左平移

π

6

个单位后，
得到函数为f(x+

π

6

)=sin[2(x+

π

6

)+φ]=sin(2x+

π

3

+φ)，
因为此时函数为奇函数，所以

π

3

+φ=kπ，k∈Z，所以φ=-

π

3

+kπ，k∈Z．
因为|φ|＜

π

2

，所以当k=0时，φ=-

π

3

． 
（2）由（1）可得 f(x)=sin(2x-

π

3

)，当0≤x≤

π

2

，所以-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
即当2x-

π

3

=-

π

3

时，函数f(x)=sin(2x-

π

3

)有最小值为sin(-

π

3

)=-

3

2

，
当2x-

π

3

=

π

2

时，函数有最大值sin(

π

2

)=1．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．