Question

已知数列{a_n}的通项a_n=n²+n，试问是否存在常数p，q，使等式

1

1+a1

+

1

2+a2

+…

1

n+an

=

pn2+qn

4(n+1)(n+2)

对一切自然数n都成立．若存在，求出p，q的值．并用数学归纳法证明，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：令n=1，2，建立方程求出p，q的值，再用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，递推到n=k+1时，成立即可．

解答： 解：令n=1，2可得

1

1+a1

=

p+q

24

，

1

1+a1

+

1

2+a2

=

4p+2q

48

，
∴p+q=8，4p+2q=22，
∴p=3，q=5，
∴

1

1+a1

+

1

2+a2

+…+

1

n+an

=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

．
证明如下：
①n=1时，左边=

1

1+a1

=

1

3

，右边=

3+5

4×2×3

=

1

3

，结论成立；
②假设n=k时结论成立，即

1

1+a1

+

1

2+a2

+…+

1

k+ak

=

3k2+5k

4(k+1)(k+2)

，
则n=k+1时，左边=

1

1+a1

+

1

2+a2

+…+

1

k+ak

+

1

(k+1)+ak+1

=

3k2+5k

4(k+1)(k+2)

+

1

(k+1)+[(k+1)2+(k+1)]

=

3(k+1)2+5(k+1)

4(k+2)(k+3)

．
即n=k+1时，结论成立，
由①②可知

1

1+a1

+

1

2+a2

+…+

1

n+an

=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

．

点评：本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．