Question

已知函数f（x）=x²e^x-1-

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x³-x²，
（1）讨论函数f（x）的单调性，
（2）设g（x）=

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x³-x²，求证：对任意实数x，都有f（x）≥g（x）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可求出函数的单调区间．
（2）求函数的导数，利用函数的最值和导数之间的关系即可证明不等式成立．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为R，f'（x）=（e^x-1-1）（x²+2x）=x（x+2）（e^x-1-1）
令f'（x）=0，可得e^x-1-1=0或x²+2x=0，即x₁=-2，x₂=0，x₃=1
列表如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-		+		-		+
f（x）	↓		↑		↓		↑

由上表可知函数f（x）在区间（-2，0）和（1，+∞）上是单调递增函数；在区间（-∞，-2）和（0，1）上是单调递减函数．
（II）设函数h（x）=f（x）-g（x）=x²e^x-1-x³=x²（e^x-1-x），
又设函数m（x）=e^x-1-x，x∈R，则m'（x）=e^x-1-1，
所以当x∈（-∞，1）时，m'（x）＜0，此时m（x）为减函数；
当x∈（1，+∞）时，m'（x）＞0，此时m（x）为增函数，
因而m（x）≥m（1）=0恒成立（等号仅当x=1处取得）
综上，当x=0或1时，h（x）=0，即f（x）=g（x）；
当x≠0，且x≠1时，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）．
综上：对任意实数x，都有f（x）≥g（x）．

点评：本题主要考查函数单调性的判断，以及不等式的证明，利用导数和函数单调性，最值的关系是解决此类问题的基本方法，考查学生的计算能力．