Question

已知数列{a_n}满足a_n+1+a_n=4n-3（n∈N^*）．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求其公差d的值；
（2）若数列{a_n}的首项a₁=3，求数列{a_n}的前100项的和．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）因为数列{a_n}是等差数列，所以a_n+1+a_n=4n-3（a₁+nd）+[a₁+（n-1）d]=2nd+（2a₁-d）=4n-3，由此能求出公差d的值．
（2）由已知条件推导出数列{a_2n-1}是首项为a₁，公差为4的等差数列，数列{a_2n}是首项为a₂，公差为4的等差数列，从而得到an=

2n+1，n为奇数 2n-6，n为偶数

，由此能求出数列a_n的前100项的和．

解答： 解：（1）因为数列{a_n}是等差数列，
所以a_n=a₁+（n-1）d，a_n+1=a₁+nd，…1′
由a_n+1+a_n=4n-3（a₁+nd）+[a₁+（n-1）d]=2nd+（2a₁-d）=4n-3．…2′
所以2d=4，2a₁-d=3，解得d=2，a₁=-

1

2

故其公差d的值为2．…5′
（2）由an+1+an=4n-3，n∈N*，得an+2+an+1=4n+1，n∈N*，
两式相减，得a_n+2-a_n=4，n∈N^*．…6′
所以数列{a_2n-1}是首项为a₁，公差为4的等差数列；…7′
数列{a_2n}是首项为a₂，公差为4的等差数列．…8′
又由a₂+a₁=1，a₁=3，得a₂=-2．
所以a_2n-1=3+4（n-1）=4n-1，a_2n=-2+4（n-1）=4n-6，
故an=

2n+1，n为奇数 2n-6，n为偶数

．…11′
所以数列a_n的前100项的和为
S100=

50

2

(a1+a99)+

50

2

(a2+a100)
=25（3+199）+25（-2+194）=9850．

点评：本题考查等差数列的公差的求法，考查数列的前100项的和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．