Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别是棱DD₁、CD、AD的中点．
（1）求证：平面MNP∥平面A₁C₁B．
（2）将正方体沿平面A₁C₁B截出一个三棱锥B₁-A₁C₁B，求次棱锥的体积与剩下的几何体体积的比．
（3）求直线B₁D与直线MN所成的角．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,异面直线及其所成的角

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）通过证明AC∥A₁C₁，证明AC∥平面A₁C₁B，根据AC∥PN，可证PN∥平面A₁C₁B，同理MN∥平面A₁C₁B，由面面平行的判定定理得平面MNP∥平面A₁C₁B；
（2）计算截去的三棱锥的体积，可得截去的三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比；
（3）先证DC₁为DB₁在平面CDD₁C₁内的射影，再根据三垂线定理证明MN⊥DB₁，可得直线B₁D与直线MN所成的角．

解答： 解：（1）证明：连接AC，∵AA₁∥CC₁，又AA₁=CC₁，
∴四边形ACC₁A₁为平行四边形，AC∥A₁C₁，AC?平面A₁C₁B，∴AC∥平面A₁C₁B，
又AC∥PN，∴PN∥平面A₁C₁B，
同理MN∥平面A₁C₁B，又MN∩PN=N，∴平面MNP∥平面A₁C₁B；
（2）VB1-A1C1B=

1

3

×

1

2

×a×a×a=

1

6

a³，
∴截去的三棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为1：5；
（3）连接DC₁，CD₁，∵B₁C₁⊥平面CDD₁C₁，∴DC₁为DB₁在平面CDD₁C₁内的射影，
∵DC₁⊥CD₁，又MN∥CD₁，由三垂线定理得：MN⊥DB₁，
即直线B₁D与直线MN所成的角为90°．

点评：本题考查了线面平行，面面平行的判定，考查了异面直线所成角的求法及棱锥的体积计算，考查学生的空间想象能力与推理论证能力，熟练掌握线面平行，面面平行的判定定理及异面直线所成角的定义是解题的关键．