Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长为

2

，底面是边长为1的等边三角形，∠A₁AB=∠A₁AC=45°，E、F分别是BC、A₁C₁的中点．
（Ⅰ）求此棱柱的表面积和体积；
（Ⅱ）求异面直线AA₁与EF所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（I）过A₁作A₁H⊥平面ABC，垂足为H，证明H在∠CAB平分线上，根据AB=AC，可得BC⊥AA₁，判断各侧面的形状，根据∠A₁AB=∠A₁AC=45°计算棱柱的高，利用面积公式与棱柱的体积公式计算；
（II）利用向量的数量积公式计算异面直线AA₁与EF所成角的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）过A₁作A₁H⊥平面ABC，垂足为H，过H作HD⊥AB于D，连A₁D，则A₁D⊥AB，
作HF⊥AC于F，连A₁F，则A₁F⊥AC，
又∠A₁AB=∠A₁AC=45°，∴Rt△A₁AD≌Rt△A₁AF，AD=AF，
∴Rt△ADH≌Rt△AFH，从而H在∠CAB平分线上，
∵△ABC为正三角形，∴BC⊥AH，∴BC⊥AA₁，

在Rt△A₁AD中，计算得A₁D=AD=1，在Rt△ADH中，计算得DH=

3

3

，在Rt△A₁DH中，计算得A1H=

6

3

，
∴棱柱的表面积S=2S△ABC+2SABB1A1+SBCC1B1=

3

2

+2+

2

，
棱柱的体积V=S△ABC．A1H=

3

4

•

6

3

=

2

4

；
（Ⅱ）∵

EF

=

EA

+

AF

=-

1

2

(

AB

+

AC)

+AA1+

1

2

AC

=

AA1

-

1

2

AB

，
∴

EF

2=

A1A

2+

1

4

AB

2-

AA1

•

AB

=2+

1

4

-

2

×1×

2

2

=

5

4

，
解得|

.

EF

|=

5

2

，
又

EF

•

AA1

=(

AA1

-

1

2

AB

)•

AA1

=2-

1

2

×1×

2

×

2

2

=

3

2

，
∴cosθ=

EF • AA1

| EF| •| AA1 |

=

3 10

10

，
即异面直线AA₁与EF所成角的余弦值

3 10

10

．

点评：本题考查了棱锥的面积与体积计算，考查了异面直线所成角的求法及向量的应用，考查了学生的空间想象能力与计算能力，综合性强，运算要细心．