Question

P（x₀，y₀）是双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上一点，M，N分别是双曲线E关于原点对称的两点且两者的横坐标不与|x₀|相等．
（1）求证：直线PM，PN的斜率之积为为定值，并写出这个定值；　
（2）若直线PM，PN的斜率之积为

1

5

，求双曲线的离心率；
（3）在问题（2）的假定下，过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足

OC

=λ

OA

+

OB

，求λ的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,直线的斜率,双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设M（x₁，y₁），则N（-x₁，-y₁），且|x₁|≠|x₀|，kPM=

y0-y1

x0-x1

，kPN=

y0+y1

x0+x1

，从而得到k_PM•k_PN=

y0-y1

x0-x1

•

y0+y1

x0+x0

=

y02-y12

x02-x12

=

b2

a2

，由此能证明直线PM，PN的斜率之积为为定值为

b2

a2

．
（2）由已知条件知

b2

a2

=

1

5

，由此能求出离心率e．
（3）联立

x2-5y2=5b2 y=x-c

，得4x²-10cx+35b²=0，设A（x₂，y₂），B（x₃，y₃），

OC

=（x₄，y₄），则

x4=λx2+x3 y4=λy3+y4

，由C为双曲线上一点，得（λx₂+x₃）²-5（λy₂+y₃）²=5b²，由此利用韦达定理结合已知条件能求出λ的值．

解答： （1）证明：设M（x₁，y₁），则N（-x₁，-y₁），且|x₁|≠|x₀|，
∵P（x₀，y₀），∴kPM=

y0-y1

x0-x1

，kPN=

y0+y1

x0+x1

，
∵M，P都在双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上，
∴

x02 a2 - y02 b2 =1 x12 a2 - y02 b2 =1

，两式相减，得：

x02-x12

a2

-

y02-y12

b2

=0，
∴

y02-y12

x02-x12

=

b2

a2

，
∴k_PM•k_PN=

y0-y1

x0-x1

•

y0+y1

x0+x0

=

y02-y12

x02-x12

=

b2

a2

，
∴直线PM，PN的斜率之积为为定值，这个定值为

b2

a2

．
（2）解：∵直线PM，PN的斜率之积为

1

5

，
∴

b2

a2

=

1

5

，∴e=

c2 a2

=

1+ b2 a2

=

1+ 1 5

=

30

5

．
（3）解：联立

x2-5y2=5b2 y=x-c

，得4x²-10cx+35b²=0，
设A（x₂，y₂），B（x₃，y₃），
则x₂+x₃=

5c

2

，x₂•x₃=

35b2

4

，
设

OC

=（x₄，y₄），

OC

=λ

OA

+

OB

，
即

x4=λx2+x3 y4=λy3+y4

，
又C为双曲线上一点，即x₄²-5y₄²=5b²，
有（λx₂+x₃）²-5（λy₂+y₃）²=5b²，
化简得：λ²（x₂²-5y₂²）+（x₃²-5y₃²）+2λ（x₂x₃-5y₂y₃）=5b²，
又A（x₂，y₂），B（x₃，y₃）在双曲线上，所以x₂²-5y₂²=5b²，x₃²-5y₃²=5b²，
而x₂₃-5y₂y₃=x₂x₃-5（x₂-c）（x₃-c）=-4x₂x₃+5c（x₂+x₃）-5c²=10b²，
得λ²+4λ=0，解得λ=0或-4．

点评：本题考查直线的倾率乘积为定值的证明，考查双曲线的离心率的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．