Question

已知函数f（x）=x³-2ax²+x+1，
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为4，求实数a的值；
（2）若函数g（x）=f′（x）在区间（1，2）上存在零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求实数a的值；
（2）若函数g（x）=f′（x）在区间（1，2）上存在零点，求a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-2ax²+x+1，
∴f′（x）=3x²-4ax+1，
∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为4，
∴f′（1）=3-4a+1=4，解得a=0．
（2）g（x）=f′（x）=3x²-4ax+1，
若g（x）=f′（x）在区间（1，2）上存在零点，
即3x²-4ax+1=0在（1，2）上有解，
即∵g（0）=1＞0，
∴若对称轴-

-4a

2×3

=

2a

3

＜0，则函数g（x）在（1，2）上单调递增，不满足条件，
若对称轴-

-4a

2×3

=

2a

3

＞0，即a＞0，
要使g（x）=f′（x）在区间（1，2）上存在零点，
则g（1）g（2）＜0，即（4-4a）（13-8a）＜0，解得1＜a＜

13

8

，
即 a∈(1，

13

8

)．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及函数根的存在性条件的应用，综合考查函数的性质．