Question

已知函数f（x）=a（x²+1）+lnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若对任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]时，恒有ma-f（x）＞a²成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数判断函数的单调性即可；
（2）由题意得恒有ma-f（x）＞a²成立，等价于ma-a²＞f（x）_max，利用导数求得函数的最大值，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

（x＞0），…（2分）
①当a≥0时，恒有f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；…（4分）
②当a＜0时，当0＜x＜

- 1 2a

时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，

- 1 2a

）上是增函数；
当x＞

- 1 2a

时，f′（x）＜0，则f（x）在（

- 1 2a

，+∞）上是减函数 …（6分）
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，f（x）在（0，

- 1 2a

）上是增函数，f（x）在（

- 1 2a

，+∞）上是减函数．…（7分）
（Ⅱ）由题意知对任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]时，
恒有ma-f（x）＞a²成立，等价于ma-a²＞f（x）_max，
因为a∈（-4，-2），所以

2

4

＜

- 1 2a

＜

1

2

＜1，
由（Ⅰ）知：当a∈（-4，-2）时，f（x）在[1，3]上是减函数
所以f（x）_max=f（1）=2a…（10分）
所以ma-a²＞2a，即m＜a+2，
因为a∈（-4，-2），所以-2＜a+2＜0…（12分）
所以实数m的取值范围为m≤-2    …13

点评：本题主要考查利用导数判断函数的单调性及求函数的最值知识，考查恒成立问题的等价转化思想及分类讨论思想的运用能力，属难题．