Question

已知函数g（x）=Acos（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（1）将函数g（x）的图象保持纵坐标不变，横坐标向右平移

π

3

个单位后得到函数f（x）的图象，求函数f（x）在x∈[-

π

6

，

π

3

]上的值域；
（2）求使f（x）≥2的x的取值范围的集合．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数g（x）的解析式．
再根据函数y=Acos（ωx+φ）+B的图象的平移变换规律，可得f（x）的解析式，再根据x∈[-

π

6

，

π

3

]，利用余弦函数的定义域和值域求得可得f（x）的值域．
（2）由f（x）≥2可得 cos（2x-

π

3

）≥

1

2

，故有2kπ-

π

3

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

3

，k∈z，由此求得不等式的解集．

解答： 解：（1）由题意可得B=

3+(-1)

2

=1，A=3-1=2，

T

2

=

1

2

•

2π

ω

=

π

3

+

π

6

，解得ω=2．
再由五点法作图可得 2×（-

π

6

）+φ=0，求得φ=

π

3

，∴函数g（x）=2cos（2x+

π

3

）+1．
将函数g（x）的图象保持纵坐标不变，横坐标向右平移

π

3

个单位后得到函数f（x）的图象，
则函数f（x）=2cos[2（x-

π

3

）+

π

3

]+1=2cos（2x-

π

3

）+1．
由x∈[-

π

6

，

π

3

]，可得 2x-

π

3

∈[-

2π

3

，

π

3

]，∴f（x）∈[0，3]．
（2）由f（x）≥2，可得 cos（2x-

π

3

）≥

1

2

，∴2kπ-

π

3

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

3

，k∈z，
求得 kπ≤x≤kπ+

π

3

，k∈z，故不等式的解集为[kπ，kπ+

π

3

]，k∈z．

点评：本题主要考查由函数y=Acos（ωx+φ）+B的部分图象求解析式，函数y=Acos（ωx+φ）+B的图象的平移变换规律，余弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于基础题．