Question

求“方程（

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）^x+（

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）^x=1的解”有如下解题思路：设f（x）=（

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）^x+（

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）^x，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路求解：已知函数f（x）的定义域为R，对任意x∈R，有f'（x）＞3x²，且f（1）=2，则方程f（x）=x³+1的解集为

 

．

Answer 1

考点：类比推理

专题：计算题,推理和证明

分析：类比求“方程（

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）^x+（

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）^x=1的解的解题思路，设g（x）=f（x）-x³，利用导数研究g（x）在R上单调递增，从而可解方程f（x）=x³+1．

解答： 解：令g（x）=f（x）-x³，
∵对任意x∈R，有f'（x）＞3x²，
∴f'（x）-3x²，＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）是R上的单调增函数，
∵f（1）=2，
∴g（1）=f（1）-1=1，
∴g（x）=1的解集为{1}，即方程f（x）=x³+1的解集为{1}．
故答案为：{1}．

点评：本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．