Question

在边长为2的正方形ABCD的内部任取一点M，则满足∠AMB＞135°的概率为

3π( 2 -1)-2 2 +2

4

．

Answer 1

分析：本题为几何概型，由题意通过圆和三角形的知识画出满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即可．

解答：解：以AB为底边，向正方形外作顶角为135°的等腰三角形，
以等腰三角形的顶点O为圆心，OA为半径作圆，
根据圆周角相关定理，弧AB所对的圆周角为135°．
即当M取圆O与ABCD的公共部分（弓形），∠AMB必大于135°
其中AB=2，OA=

2

sin 135° 2

=

4

2+ 2

，
O到AB的距离为 2tan

45°

2

=2

2

-2，
故所求的概率为：

S弓形

S正方形

=

S扇形-S △AOB

S 正方形

=

3 8 π×( 4 2+ 2 )2- 1 2 ×2×(2 2 -2)

2×2

=

3π( 2 -1)-2 2 +2

4

，
故答案为：

3π( 2 -1)-2 2 +2

4

点评：本题考查几何概型，关键是要画出满足条件的图形，结合图形分析，找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，属中档题．