【题目】已知二次函数
(Ⅰ)若函数在区间上存在零点,求实数的取值范围;
(Ⅱ)问:是否存在常数,当时, 的值域为区间,且的长度为.(说明:对于区间,称为区间长度)
【答案】(1)(2)存在常数, , 满足题意.
【解析】试题分析:(1) 先由函数对称轴为得函数在上单调减,要使函数在存在零点,则需满足,解得; (2)当时, 的值域为,由,得合题意;当时, 的值域为,由,得不合题意;当时, 的值域为,用上面的方法得或合题意.
试题解析:⑴ ∵二次函数的对称轴是
∴函数在区间上单调递减
∴要函数在区间上存在零点须满足
即
解得,所以.
⑵ 当时,即时, 的值域为: ,即
∴
∴∴
经检验不合题意,舍去。
当时,即时, 的值域为: ,即
∴, ∴
经检验不合题意,舍去。
当 时, 的值域为: ,即
∴
∴∴或
经检验或或满足题意。
所以存在常数,当时, 的值域为区间,且的长度为.
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【题目】下表给出三种食物的维生素含量及其成本:
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维生素A(单位/千克) | 4000 | 5000 | 300 |
维生素B(单位/千克) | 700 | 100 | 300 |
成本(元/千克) | 6 | 4 | 3 |
现欲将三种食物混合成本100千克的混合食品,要求至少含35000单位维生素A,40000单位维生素B,采用何种配比成本最小?
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【题目】下列命题中正确的是( )
A.过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个
B.过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个
C.过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条
D.过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个
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【题目】已知数列, 都是单调递增数列,若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数列.
(1)设数列、分别为等差、等比数列,若, , ,求;
(2)设的首项为1,各项为正整数, ,若新数列是等差数列,求数列 的前项和;
(3)设(是不小于2的正整数),,是否存在等差数列,使得对任意的,在与之间数列的项数总是?若存在,请给出一个满足题意的等差数列;若不存在,请说明理由.
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【题目】某校从参加高二某次月考的学生中随机抽取60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组后得到如右所示的部分频率分布直方图。观察图形信息,回答下列问题:
(Ⅰ)求分数在内的频率;
(Ⅱ)用分层抽样的方法在分数段的学生中抽取一个容量为6的样本,再从该样本中任取2人,求至多有1人在分数段内的概率。
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【题目】如图所示,直线PQ与⊙O切于点A,AB是⊙O的弦,∠PAB的平分线AC交⊙O于点C,连接CB,并延长与直线PQ相交于Q点.
(1)求证:QC·AC=QC2-QA2;
(2)若AQ=6,AC=5,求弦AB的长.
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