Question

若正三棱锥的棱长都是6cm，求它的内切球的表面积与体积。

Answer 1

解：如图，设E，F分别为侧面与底面的切点，则F为底面ABC的中心，
设CF交AB于H，连接DH，则有E点在DH上，

∴，
设球心为O，连接OE，则OE⊥DH，且OE=OF=r，
易知，则，
又∵AB=BC=AC=DA=6，
∴，∴，
∴DO=DF-OF，
∴，
代入DF、DH、HF得，即，
∴，。