Question

设a＞0，f（x）=是R上的偶函数.

（1）求a的值；

（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；

（3）当x∈［-ln2，ln2］时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

解：（1）由f（x）是偶函数和f（-x）=f（x）,

即=,化简得:

（a-）（e^x-）=0.?

因上式对x∈R都成立,所以a-=0,由a＞0得a=1,因此f（x）=e^x+e^-x.

（2）f′（x）=e^x+e^-x.

当x＞0时,e^x＞1,0＜e^-x＜1,所以f′（x）=e^x-e^-x＞0.?

故f（x）在（0,+∞）上是单调增函数.?

（3） 因f（x）是偶函数,又f（x）在（0,+∞）上是增函数,对于x∈［-ln2,ln2］，函数f（x）最大值f（-ln2）=f（ln2）=e^ln2+e^-ln2=2+=,要使当x∈［-ln2,ln2］时,f（x）＜m恒成立,只要m＞即可，

故所求m的范围是（,+∞）.