Question

已知动圆与圆F₁:(x+3)²+y²=和圆F₂：(x-3)²+y²=都外切．

(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程；

(Ⅱ)若直线l被轨迹C所截得的线段的中点坐标为(-20，-16)，求直线l的方程；

(Ⅲ)若点P在直线l上，且过点P的椭圆E以轨迹，C的焦点为焦点，试求点P在什么位置时，椭圆E的长轴最短，并求出这个具有最短长轴的椭圆E的方程．

Answer 1

解:(Ⅰ)设动圆半径为r，圆心为M，则由已知得：

 ∴|MF₂|-|MF₁|=2．

∴动圆圆心的轨迹C为以F₁，F₂为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，易得其方程为：=1(x＜0)．

(Ⅱ)设l的方程为：y+16=A(x+20)，并设l与轨迹C的交点坐标为(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，则由已知得：

=-20，即x₁+x₂=-40  ① 

由消去y得:

(4-5k²)x²-10k(20k-16)x-5(20k-16)²-20=0，

∴x₁+x₂=    ②

由①②得：=-40，∴k=1．

∴所求直线l的方程为y=x+4；

(Ⅲ)椭圆的长轴K等于|PF₁|+|PF₂|，要长轴最短，只需在直线l上找一点P，使点P到F₁、F₂的距离之和最小．由平面几何知识知：作F₁关于l的对称点Q，连接QF₂交直线l于点P，则点P即为所求点，坐标为()． 

此时长轴2a=|PF₁|+|PF₂|=|PQ|+|PF₂|=|QF₂|=5．

从而a²=，c=3．∴b²=a²-c²=-9=．

∴椭圆E的方程为：=1．