Question

已知动圆过定点F₁（-3，0），且与圆O：（x-3）²+y²=100相内切，
（1）求动圆的圆心的轨迹曲线C．
（2）若P是C上的一点，F₂为圆O的圆心且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）设切点为N，动圆与圆O内切，则F₂，M，N三点共线，且|MF₁|=|MN|，所以M到定点F₁，F₂的距离之和为定值10＞|F₁F₂|=6，由此能求出M的轨迹方程．
（2）设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，则r₁+r₂=2a=10⇒r₁²+2r₁r₂+r²=100．在△PF₁F₂中，由勾股定理得r₁²+r₂³-r₁r₂=4c²=36，由此能求出△F₁PF₂的面积．
解答：解：（1）设切点为N，动圆与圆O内切，
则F₂，M，N三点共线，且|MF₁|=|MN|
∴|MF₁|+|MF₂|=|MF₁|+|MF₂|=|NF₂|
即M到定点F₁，F₂的距离之和为定值10＞|F₁F₂|=6
故M的轨迹是以F₁，F₂为焦点的椭圆
易知c=3，a=5，b=4
M的轨迹方程是．
（2）设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，
则r₁+r₂=2a=10⇒r₁²+2r₁r₂+r²=100（1）
又在△PF₁F₂中，由勾股定理得r₁²+r₂²-r₁r₂=4c²=36（2）
（1）-（2）得
∴
点评：本题考查点的轨迹的求法和计算△F₁PF₂的面积．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．