Question

（2010•广东模拟）已知动点P的轨迹为曲线C，且动点P到两个定点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离|

PF1

|，|

PF2

|的等差中项为

2

．
（1）求曲线C的方程；
（2）直线l过圆x²+y²+4y=0的圆心Q与曲线C交于M，N两点，且

ON

•

OM

=0（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意及根据椭圆定义，2a=|PF₁|+|PF₂|可求a，由已知焦点可求c，根据b=

a2-c2

可求b，进而可求椭圆方程
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可设l：y=kx-2，则y₁y₂=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4，联立直线y=kx-2与椭圆方程为

x2

2

+y2=1，得x²+2（kx-2）²=2，根据方程的根与系数关系可求x₁+x₂，x₁x₂，由y=kx-2可得y₁y₂，由

ON

•

OM

=0⇒x1x2+y1y2=0，代入可求k，进而可求直线方程

解答：解：（1）由题意可得P的轨迹是以定点F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点的椭圆，且c=1
根据椭圆定义，得2a=|PF1|+|PF2|=2

2

，
∴a=

2

，b=1．
∴所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．                                           …（6分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由 

ON

•

OM

=0⇒x1x2+y1y2=0，
设l：y=kx-2，则y₁=kx₁-2，y₂=kx₂-1
∴y₁y₂=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4
∴（1+k²）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=0（*）．
联立直线y=kx-2与椭圆方程为

x2

2

+y2=1，得x²+2（kx-2）²=2
∴x1x2=

6

1+2k2

，x1+x2=

8k

1+2k2

代入（*）得k2=5⇒k=±

5

，
所求直线l为：

5

x-y-2=0或

5

x+y+2=0．…（14分）

点评：本题主要考查了利用椭圆的定义求解椭圆的方程，直线与椭圆相交的关系的应用，解决此类试题的一般思路是联立直线与曲线方程，根据方程的根与系数的关系进行求解．