Question

设集合W由满足下列两个条件的数列构成：

①

②存在实数M，使（n为正整数）

   （I）在只有5项的有限数列

        ；试判断数列是否为集合W的元素；

   （II）设是各项为正的等比数列，是其前n项和，证明数列；并写出M的取值范围；

  （III）设数列且对满足条件的M的最小值M₀，都有.

        求证：数列单调递增.

Answer 1

（I）不是集合W中的元素，是集合W中的元素.（II），且（III）见解析

解析:

（I）对于数列，

取显然不满足集合W的条件，①

故不是集合W中的元素，           …………2分

对于数列，当时，

不仅有

而且有，

显然满足集合W的条件①②，

故是集合W中的元素.           …………4分

   （II）是各项为正数的等比数列，是其前n项和，

设其公比为q>0，

整理得

                          …………7分

对于

且

故，且             …………9分

   （III）证明：（反证）若数列非单调递增，则一定存在正整数k，

使，易证于任意的，都有，证明如下：

假设

当n=m+1时，由

而

所以

所以，对于任意的

显然这k项中有一定存在一个最大值，不妨记为；

所以与这题矛盾.

所以假设不成立， 故命题得证.          …………14分