Question

已知数列{a_n}满足a₁=a,a_n+1=(n∈N^*).

(1)判断数列{}是否为等比数列？若不是,请说明理由;若是,试求出通项a_n;

(2)如果a=1时,数列{a_n}的前n项和为S_n,试求出S_n,并证明当n≥3时,有++…+＜.

Answer 1

解:(1)∵a_n+1+2=+2=,

∴=2·.令b_n=,则b_n+1=2b_n.

∵b₁=,∴当a=-2时,b₁=0,则b_n=0.∵数列{0}不是等比数列,

∴当a=-2时,数列{}不是等比数列.

当a≠-2时,b₁≠0,则数列{}是等比数列,且公比为2.

∴b_n=b₁·2^n-1,即=·2^n-1.解得a_n=·2^n-1-2.

(2)由(1)知,当a=1时,a_n=(2n+1)·2^n-1-2,S_n=3+5·2+7·2²+…+(2n+1)·2^n-1-2n.

令T_n=3+5·2+7·2²+…+(2n+1)·2^n-1,①

则2T_n=3·2+5·2²+…+(2n-1)·2^n-1+(2n+1)·2ⁿ,②

由①-②,得-T_n=3+2(2+2²+…+2^n-1)-(2n+1)·2ⁿ

=3+2·-(2n+1)·2ⁿ=(1-2n)·2ⁿ-1,

∴T_n=(2n-1)·2ⁿ+1,9分则S_n=T_n-2n=(2n-1)(2ⁿ-1).∵2ⁿ=++…++Cⁿ_n,∴当n≥3时,2ⁿ≥+++Cⁿ_n=2(n+1),

则2ⁿ-1≥2n+1.12分∴S_n≥(2n-1)(2n+1),则≤=().

因此,++…+≤［()+()+…+()］=()＜.