Question

16．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
（Ⅰ）求cos（A+B）的值；
（Ⅱ）设a=$\sqrt{10}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由A，B，C为△ABC的内角，利用同角三角函数关系式可求sinA，sinB，根据两角和的余弦函数公式即可得解．
（Ⅱ）由（I）知，A+B=45°，可求C，sinC的值，由正弦定理可求得b的值，利用三角形面积公式可求S_△ABC的值．

解答 解：（Ⅰ）∵A，B，C为△ABC的内角，且，$cosA=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，$cosB=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，
∴$sinA=\sqrt{1-{{cos}^2}A}=\sqrt{1-{{（{-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$sinB=\sqrt{1-{{cos}^2}B}=\sqrt{1-{{（{\frac{{3\sqrt{10}}}{10}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．…（4分）
∴cos（A+B）=AcosB+cosAsinB=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}×\frac{{3\sqrt{10}}}{10}-\frac{{\sqrt{5}}}{5}×\frac{{\sqrt{10}}}{10}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（6分）
（Ⅱ）由（I）知，A+B=45°∴C=135°，…（7分）
∵$a=\sqrt{10}$，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$得$b=a×\frac{sinB}{sinA}=\sqrt{10}×\frac{{\frac{{\sqrt{10}}}{10}}}{{\frac{{\sqrt{5}}}{5}}}=\sqrt{5}$．…（10分）
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×\sqrt{10}×\sqrt{5}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{5}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数关系式，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．