Question

已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.

(1)求动圆圆心的轨迹C的方程.

(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.

Answer 1

【解题提示】(1)由弦长的一半、半径和弦心距构成直角三角形列出方程,化简后得出轨迹C的方程.

(2)直线过定点可抓住该题的关键:x轴是∠PBQ的角平分线,即k_QB+k_PB=0解之.

【解析】(1)A(4,0),设圆心C(x,y),线段MN的中点为E,由几何图象知ME=,CA²=CM²=ME²+EC²⇒(x-4)²+y²=4²+x²⇒y²=8x.

(2)设直线l的方程为y=kx+b,联立

得k²x²+2kbx+b²=8x,

k²x²-(8-2kb)x+b²=0(其中Δ>0),

设P(x₁,kx₁+b),Q(x₂,kx₂+b),

则x₁+x₂=,

x₁x₂=,

若x轴是∠PBQ的角平分线,则

k_PB+k_QB=+

=

===0即k=-b,

故直线l的方程为y=k(x-1),直线l过定点(1,0).