Question

11．若定义在（-1，1）上的奇函数f（x）满足当x∈（0，1）时，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{{4}^{x}+1}$．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）试判断f（x）在（0，1）上的单调性，并给予证明；
（3）当a为何值时，关于方程f（x）=a在（0，1）上有实数解？

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的性质分别求出f（x）在（-1，0）和x=0时的解析式，再写出分段函数；
（2）求出f（x）在（0，1）上的导数，判断导数的符号，得出结论；
（3）求出f（x）在（0，1）上的值域，得出a的范围．

解答 解：（1）令-1＜x＜0，则0＜-x＜1，
∴f（-x）=$\frac{{2}^{-x}}{{4}^{-x}+1}$=$\frac{{2}^{x}}{1+{4}^{x}}$，
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-$\frac{{2}^{x}}{1+{4}^{x}}$，
∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{2}^{x}}{1+{4}^{x}}，-1＜x＜0}\\{0，x=0}\\{\frac{{2}^{x}}{1+{4}^{x}}，0＜x＜1}\end{array}\right.$．
（2）当x∈（0，1）时，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{1+{4}^{x}}$=$\frac{1}{\frac{1}{{2}^{x}}+{2}^{x}}$，设0＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}+{2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1}{\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}+{2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}+\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}-\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}}{（\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}+{2}^{{x}_{1}}）（\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}+{2}^{{x}_{2}}）}$=$\frac{（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）（1-\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}）}{（\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}+{2}^{{x}_{1}}）（\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}+{2}^{{x}_{2}}）}$．
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴2${\;}^{{x}_{2}}$＞2${\;}^{{x}_{1}}$＞1，∴2${\;}^{{x}_{2}}$-2${\;}^{{x}_{1}}$＞0，1-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}{2}^{{x}_{2}}}$＞0，$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}+{2}^{{x}_{1}}$＞0，$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}+{2}^{{x}_{2}}$＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上是减函数．
（3）∵f（x）在（0，1）上是减函数，∴当x∈（0，1）时，$\frac{2}{5}$＜f（x）＜$\frac{1}{2}$，
当$\frac{2}{5}$＜a＜$\frac{1}{2}$时，方程f（x）=a在（0，1）上有实数解．

点评 本题考查了奇函数的性质，函数单调性的判断，函数的值域，属于中档题．