Question

3．已知F是抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，O为坐标原点．
（1）若M，N是抛物线C上的两个动点，OM，ON的倾斜角分别为θ₁，θ₂，且θ₁+θ₂=$\frac{π}{3}$，求证：直线MN恒过定点；
（2）抛物线C上是否存在点P，使得$\frac{OP}{FP}$达到最大值，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN的方程为y=kx+m，将直线方程与y²=2px联立，消去x，由韦达定理知y₁+y₂，y₁y₂．通过θ₁+θ₂=$\frac{π}{3}$时，利用直线的斜率以及两角和的正切函数，推出m，k的关系，得到直线MN恒过定点；
（2）假设存在点P，使得$\frac{OP}{FP}$达到最大值．设P（$\frac{{m}^{2}}{2p}$，m），由抛物线的定义，再令t=$\frac{{m}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$，t＞$\frac{p}{2}$，可得m²=2p（t-$\frac{p}{2}$）=2pt-p²，再由配方和二次函数的最值的求法，即可得到最大值，即可判断．

解答 （1）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），y²=2px，
由题意得x₁≠x₂且x₁，x₂≠0，
所以直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+m，
则x₁=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，x₂=$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$，
将y=kx+m与y²=2px联立消去x，得：ky²-2py+2pm=0．
则：y₁+y₂=$\frac{2p}{k}$，y₁y₂=$\frac{2pm}{k}$，
OM，ON的倾斜角分别为θ₁、θ₂，且θ₁+θ₂=$\frac{π}{3}$，
又tanθ₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}}$，tanθ₂=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{2p}{{y}_{2}}$，
所以，$\sqrt{3}$=tan（θ₁+θ₂）=$\frac{tan{θ}_{1}+tan{θ}_{2}}{1-tan{θ}_{1}tan{θ}_{2}}$
=$\frac{\frac{2p}{{y}_{1}}+\frac{2p}{{y}_{2}}}{1-\frac{4{p}^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}}$=$\frac{2p（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{y}_{1}{y}_{2}-4{p}^{2}}$=$\frac{2p•\frac{2p}{k}}{\frac{2pm}{k}-4{p}^{2}}$=$\frac{2p}{m-2pk}$．
即m=2pk-$\frac{2p}{\sqrt{3}}$，
直线MN的方程为y=kx+2pk-$\frac{2p}{\sqrt{3}}$，即y+$\frac{2p}{\sqrt{3}}$=k（x+2p），
所以直线MN恒过定点（-2p，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$p）；
（2）假设存在点P，使得$\frac{OP}{FP}$达到最大值．
设P（$\frac{{m}^{2}}{2p}$，m），由抛物线的定义可得|PF|=$\frac{{m}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$，
$\frac{|OP|}{|PF|}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}+\frac{{m}^{4}}{4{p}^{2}}}}{\frac{{m}^{2}}{2p}+\frac{p}{2}}$，
令t=$\frac{{m}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$，t＞$\frac{p}{2}$，可得m²=2p（t-$\frac{p}{2}$）=2pt-p²，
即有$\frac{|OP|}{|PF|}$=$\sqrt{\frac{{t}^{2}+pt-\frac{3}{4}{p}^{2}}{{t}^{2}}}$=$\sqrt{-\frac{3}{4}•\frac{{p}^{2}}{{t}^{2}}+\frac{p}{t}+1}$
=$\sqrt{-\frac{3}{4}（\frac{p}{t}-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$，当$\frac{p}{t}$=$\frac{2}{3}$即t=$\frac{3}{2}$p＞$\frac{1}{2}$p，即有m=±$\sqrt{2}$p，
取得最大值$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故存在点P（p，±$\sqrt{2}$p），使得$\frac{OP}{FP}$达到最大值．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线恒过定点的证明，并求出该定点的坐标，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用，换元法的运用，考查运算能力，属于中档题．