Question

各项均为正数的等比数列{a_n}的公比q≠1，a2，

1

2

a3，a1成等差数列，则

a3a4+a2a6

a2a6+a4a5

=（　　）

• A．

  5 +1

  2

• B．

  5 -1

  2

• C．

  1- 5

  2

• D．

  5 +1

  2

Answer 1

分析：由a₂，

1

2

a₃，a₁成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用等比数列的通项公式化简后，根据首项a₁不为0，得到关于公比q的方程，求出方程的解得到q的值，然后把所求式子分子第二项利用等比数列的性质化简，分母第一项利用等比数列的性质化简，分子分母提取a₄，约分后再利用等比数列的性质化简，得到关于q的式子，把q的值代入即可求出值．

解答：解：∵a₂，

1

2

a₃，a₁成等差数列，且{a_n}为等比数列，
∴2×

1

2

a₃=a₂+a₁，即a₁q²=a₁q+a₁，
又a₁≠0，∴q²-q-1=0，
解得：q=

1+ 5

2

或q=

1- 5

2

（舍去），
则

a3a4+a2a6

a2a6+a4a5

=

a3a4+a42

a42+a4a5

=

a3 +a4

a4+a5

=

1

q

=

1

1+ 5 2

=

5 -1

2

．
故选B

点评：此题考查了等差、等比数列的性质，以及等比数列的通项公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．