Question

一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），车上有一邮政车厢，每停靠一站便卸下面前各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个.设从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋a_k（k=1,2,3,…,n）个，试求：

（1）数列{a_n}的通项a_k的通项公式；

（2）k为何值时a_k最大？并求出a_k的最大值.

Answer 1

解：（1）由题意可知：a₁=n-1，a₂=（n-1）+（n-2）-1，a₃=（n-1）+(n-2)+(n-3)-1-2,…

    在k站，前面放上的邮袋共有n-1+n-2+n-3+…+n-k个，而放下的邮袋为1+2+3+…+（k+1），

故a_k=n-1+n-2+…+（n-k）-（1+2+…+k-1）=kn-k²(k=1,2,…,n).

（2）a_k=-(k-)²+，若n为偶数，则当k=时，a_k的最大值是,若n为奇数，则当k=或时,a_k的最大值是.