Question

已知函数，（x∈R，a，b为实数）
（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的零点，求证：函数f（x）不是单调函数；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，求a+b的最小值．

Answer 1

解：（I）∵f（1）=+a-b+1=0
∴b=a+
∴
∴
△=4a²+4（a+）=4+＞0
∴f′（x）=0必有两个不同的实根，，
当x∈（-∞，x₁），f′（x）＞0，
x∈（x₁，x₂），f′（x）＜0，
x∈（x₂，+∞），f′（x）＞0，
故f（x）存在两个极值点即f（x）不是单调函数．
（II）∵函数f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数
∴函数在[-1，2]上有f′（x）≤0恒成立
即
∵a+b=（2a+b）+（b-4a）≥+×4=
∴a+b最小值为
分析：（I）根据x=1是函数f（x）的零点将b用a表示，然后研究函数的导数，求出f′（x）=0的根，然后判定函数的单调性即可；
（II）将函数f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数转化成函数在[-1，2]上有f′（x）≤0恒成立，建立a、b的不等关系，然后利用a+b=（2a+b）+（b-4a）可求出所求．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及不等式的应用，同时考查了转化的数学思想和计算能力，属于中档题．