Question

△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，，若，则sinB+sinC的取值范围是（ ）
A．
B．（，]
C．[，1）
D．[，1）

Answer 1

【答案】分析：利用向量的坐标运算结合余弦定理可求得角A，从而利用两角和的正弦与辅助角公式可求sinB+sinC的取值范围．
解答：解：∵=（a+b，c），=（b-a，c-b），⊥，
∴（a+b）（b-a）+c（c-b）=0，
∴a²=b²+c²-bc，
由余弦定理知，a²=b²+c²-2bccosA，
∴cosA=，而A为△ABC的内角，
∴A=．
∵△ABC中，A+B+C=π，
∴B+C=π-A=，
∴sinB+sinC
=sin（-C）+sinC
=cosC-（-）sinC+sinC
=sinC+cosC
=sin（C+）．
∵0＜C＜，故＜C+＜．
∴＜sin（C+）≤1．
∴＜sin（C+）≤．即＜sinB+sinC≤．
故选B．
点评：本题考查余弦定理，考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，考查三角函数间的关系式，属于中档题．