Question

已知平面直角坐标系中O是坐标原点，，圆是的外接圆，过点（2，6）的直线为。

（1）求圆的方程；

（2）若与圆相切，求切线方程；

（3）若被圆所截得的弦长为，求直线的方程。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）圆C的方程为：

（2）         （3）

【解析】此题考查了直线与圆相交的性质，直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，涉及的知识有：两直线垂直时斜率满足的关系，直线斜率的求法，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，线段中点坐标公式，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理，利用了分类讨论及转化的思想，其中当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．

（1）三角形外接圆的圆心C为三角形三边垂直平分线的交点，故找出边OA与OB的垂直平分线交点即为圆心C，由A和O的坐标得出直线OA的斜率，利用两直线垂直时斜率满足的关系求出线段OA垂直平分线的斜率，再利用线段中点坐标公式求出线段OA的中点坐标，确定出线段OA垂直平分线的方程，找出线段OB垂直平分线的方程，两直线解析式联立求出两直线的交点坐标，即为圆心C的坐标，再由C与O的坐标，利用两点间的距离公式求出|OC|的长，即为圆C的半径，由圆心和半径写出圆C的标准方程即可；

（2）显然切线方程的斜率存在，设切线方程的斜率为k，由切线过（2，6），表示出切线的方程，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出切线的方程；

（3）当直线l的斜率不存在时，显然x=2满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，由直线l过（2，6），表示出直线l的方程，由弦长及半径，利用垂径定理及勾股定理求出弦心距，即为圆心C到直线l的距离，再利用点到直线的距离公式表示出圆心C到直线l的距离，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出直线l的方程，综上，得到所有满足题意的直线l的方程