Question

12．已知函数f（x）=ln[（5+k）x²+6x+k+5]，若f（x）在（-∞，-1]上为减函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 令（5+k）x²+6x+k+5=t，所以原函数是由y=lnt，和t=（5+k）x²+6x+k+5复合而成的复合函数，显然y=lnt在（0，+∞）上为增函数，从而根据复合函数的单调性，t=（5+k）x²+6x+k+5在（-∞，-1]上单调递减，且t＞0，即可得出实数k的取值范围．

解答 解：令（5+k）x²+6x+k+5=t，所以原函数是由y=lnt，和t=（5+k）x²+6x+k+5复合而成的复合函数；
函数y=lnt在（0，+∞）上为增函数；
根据复合函数的单调性，t=（5+k）x²+6x+k+5在（-∞，-1]上单调递减，且t＞0
∴$\left\{\begin{array}{l}{5+k＞0}\\{-\frac{6}{2（5+k）}≤-1}\\{（5+k）-6+k+5＞0}\end{array}\right.$
∴-2＜k≤2
∴实数k的取值范围为（-2，2]．

点评 考查复合函数的定义，复合函数的单调性的判断方法，以及二次函数的单调性及单调区间的求法，对数函数的单调性，注意要在定义域内找单调区间．