Question

（B题）设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，（a，b，c，d∈R）．
（1）若f（x）=（1-2x）³，求3a+2b+c-d的值；
（2）若a=

1

3

，b＜0，y=f（x）在x=0处取得极值-1，且过点（0，0）可作曲线y=f（x）的三条切线，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由于函数f（x）=ax³+bx²+cx+d=（1-2x）³，则导函数也相等，令x=1，则可得3a+2b+c的值，再由二项式定理得到d，即可求3a+2b+c-d的值；
（2）由（1）及a=

1

3

，b＜0，y=f（x）在x=0处取得极值-1，可得c，d的值，设切点，求切线方程，得到

2

3

x

3 0

+b

x

2 0

+1=0，
要求过点（0，0）可作曲线y=f（x）的三条切线，即求g(x)=

2

3

x3+bx2+1(b＜0)有三个零点，
即是函数的极大值大于0或极小值小于0，即可求得实数b的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=（1-2x）³=ax³+bx²+cx+d，
对此等式两边同时求导数得：3（1-2x）²（-2）=3ax²+2bx+c，
令x=1得：3a+2b+c=-6，又由二项式定理知d=1
故3a+2b+c-d=-6-1=-7…（6分）
（2）∵f′（x）=x²+2bx+c，由题意可得f′（0）=0，f（0）=-1，解得c=0，d=-1
经检验，f（x）在x=0处取得极大值．∴f(x)=

1

3

x3+bx-1…（8分）
设切点为（x₀，y₀），则切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0)
即为y=(

x

2 0

+2bx0)x-

2

3

x

3 0

-b

x

2 0

-1…（9分）
因为切线方程为y=(

x

2 0

+2bx0)x-

2

3

x

3 0

-b

x

2 0

-1，
把（0，0）代入可得

2

3

x

3 0

+b

x

2 0

+1=0，
因为有三条切线，故方程

2

3

x

3 0

+b

x

2 0

+1=0有三个不同的实根．…（11分）
设g(x)=

2

3

x3+bx2+1(b＜0)
∵g′（x）=2x²+2bx，令g′（x）=2x²+2bx=0，可得x=0和x=-b

x	（-∞，0）	0	（0，-b）	-b	（-b，+∞）
g′（x）	+	0	一	0	+
g（x）	增	极大值	减	极小值	增

因为方程有三个根，故极小值小于零，

1

3

b3+1＜0，所以b＜-

3	3

…（14分）

点评：此题主要考查多项式函数的导数，利用导数研究曲线上某点的切线方程，及函数极值等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，难度不大．