Question

已知集合A={（x，y）|x²+mx-y+2=0}和B={（x，y）|x-y+1=0，0≤x≤2}，A∩B≠∅，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：本题的几何背景是：抛物线y=x²+mx+2与线段y=x+1（0≤x≤2）有公共点，求实数m的取值范围．

解答：解：由

x2+mx-y+2=0 x-y+1=0

得x²+（m-1）x+1=0，①
∵A∩B≠∅，
∴方程①在区间[0，2]上至少有一个实数解，
首先，由△=（m-1）²-4≥0，
解得：m≥3或m≤-1．
设方程①的两个根为x₁、x₂，
（1）当m≥3时，由x₁+x₂=-（m-1）＜0
及x₁•x₂=1＞0知x₁、x₂都是负数，不合题意；
（2）当m≤-1时，由x₁+x₂=-（m-1）＞0
及x₁•x₂=1＞0知x₁、x₂是互为倒数的两个正数，
故x₁、x₂必有一个在区间[0，1]内，
从而知方程①在区间[0，2]上至少有一个实数解．
综上所述，实数m的取值范围为（-∞，-1]．

点评：本题主要考查集合间的包含关系，解题过程中用到了根与系数的关系，较好．