Question

下列说法错误的是（ ）
A．若z∈C，则|z|=1的充要条件是=
B．若z=sinθ+icosθ（其中0＜θ＜），则（）²＜0
C．若方程x²+bx+c=0的系数不都是实数，则此方程必有虚数根
D．复数（a-b）+（a+b）i为纯虚数的充要条件是a、b∈R，且a=b

Answer 1

【答案】分析：对各个选项逐个加以判断：根据复数性质，说明A选项不错；根据复数运算法则进行推导，可由z=sinθ+
icosθ（其中0＜θ＜），推出（）²＜0，说明B选项不错；根据复系数一元二次方程必定有虚数根据的定理，可知C选项也不错．A、B、C都不错，很容易就有找出D选项的反例，因此不难选出正确答案了．
解答：解：对于A：根据复数的共轭的性质，得到|z|=1⇒⇒=，故A正确；
对于B，因为z=sinθ+icosθ，所以
得出：（）²=
∵0＜θ＜，∴cosθ∈（0，1）；∴（）²＜0，故B正确；
对于C：若方程x²+bx+c=0的系数不都是实数，根据复数相等的含义，不管哪一项系数为虚数，必定要有虚数根与这个系数相乘，才能使结果为零而不含虚数单位i，所以方程必定有虚数根即方程的两个根不可能都是实数，C也正确；
对于D：复数（a-b）+（a+b）i为纯虚数的充要条件是a、b∈R，且a=b，很明显是错误的，因为当a=b=0时，复数（a-b）+（a+b）i不是虚数，故D选项是错误的
故选D
点评：本题以复数为例，考查了充分条件与必要条件的判断，属于中档题．熟记复数的运算法则与运算性质，是解决好本题的关键所在．