Question

△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，a=1，b=2，cosC=

3

4

（1）求边c的值；
（2）求sin（C-A）的值．

Answer 1

分析：（1）由a，b及cosC的值，利用余弦定理列出关于c的方程，开方即可求出c的值；
（2）由cosC的值大于0，得到C为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a，c及sinC的值，利用正弦定理求出sinA的值，由三角形的大边对大角，得到A也为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，最后利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（C-A），把各种的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵a=1，b=2，cosC=

3

4

，
∴根据余弦定理得：c²=a²+b²-2ab•cosC=1+4-3=2，
则c=

2

；
（2）由cosC=

3

4

＞0，得到C为锐角，
∴sinC=

1-cos2C

=

7

4

，
根据正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：sinA=

1× 7 4

2

=

14

8

，
又a＜b，得到A为锐角，
∴cosA=

1-sin2A

=

5 2

8

，
则sin（C-A）=sinCcosA-cosCsinA=

7

4

×

5 2

8

-

3

4

×

14

8

=

14

16

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式以及三角形的边角关系，其中正弦定理及余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．