Question

已知双曲线C：（1－）＋＝（a＞1），设该双曲线上支的顶点为A，且上支与直线y＝－x相交于P点，一条以A为焦点，M（0，m）为顶点，开口向下的抛物线通过点P，设直线PM的斜率为k，且≤k≤，求实数a的取值范围．

 

Answer 1

答案：
解析：

解  由双曲线方程知，顶点A的坐标为（0，1），从而抛物线方程为 　　＝－4（m－1）（y－m）． 　　由， 　　得P点坐标为（－a，a）． 　　∵  点P在抛物线上， 　　∴  ＝－4（m－1）（a－m）                  ① 　　由MP的斜率k＝，得m＝ak＋a， 　　代入①，得＝－4（ak＋a－1）（－ak）， 　　即＋4（a－1）k－a＝0                     ② 　　由题设知，方程②在区间[，]上有实根． 　　令f（k）＝＋4（a－1）k－a， 　　则对称轴＜0＜． 　　∴  f（k）在区间[，]上有实根的充要条件是， 　　解得≤a≤4． 　　故所求实数a的取值范围是[，4]． 点评  由②式也可以得到，易知该函数在区间[，]上是减函数，从而转化为求函数的值域问题．