Question

已知椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），它的一个焦点与抛物线y²=8x的焦点重合，离心率e=

2 5

5

，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点M（1，0），且(

MA

+

MB

)⊥

AB

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由椭圆和y²=8x抛物线有共同的焦点，求出抛物线的焦点坐标，离心率e=

2 5

5

，根据a²=b²+c²，即可求得椭圆C的方程；
（2）设出直线l的方程和点A，B的坐标，并代入(

MA

+

MB

)⊥

AB

，联立联立消去y，得到关于x的一元二次方程，△＞0，利用韦达定理即可求得．

解答：解：（1）设椭圆的右焦点为（c，0），
因为y²=8x的焦点坐标为（2，0），所以c=2
因为e=

c

a

=

2 5

5

，则a²=5，b²=1
故椭圆方程为：

x2

5

+y2=1
（2）由（I）得F（2，0），
设l的方程为y=k（x-2）（k≠0）
代入

x2

5

+y2=1，得（5k²+1）x²-20k²x+20k²-5=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

20k2

5k2+1

，x1x2=

20k2-5

5k2+1

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-4），y₁-y₂=k（x₁-x₂）
∴

MA

+

MB

=(x1-1，y1)+(x2-1，y2)=(x1+x2-2，y1+y2)，

AB

=(x2-x1，y2-y1)
∵(

MA

+

MB

)•

AB

=0，∴（x₁+x₂-2）（x₂-x₁）+（y₂-y₁）（y₁+y₂）=0∴

20k2

5k2+1

-2-

4k2

5k2+1

=0，
∴3k2-1=0，k=±

3

3

所以直线l的方程为y=±

3

3

(x-2)．

点评：此题是个难题．考查抛物线的定义和简单的几何性质，待定系数法求椭圆的标准方程，以及直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，特别是问题（2）的设问形式，增加了题目的难度，注意直线与圆锥曲线相交，△＞0．体现了数形结合和转化的思想方法．