Question

已知圆的方程为x²+y²=4，过点M（2，4）作圆的两条切线，切点分别为A₁、A₂，直线A₁A₂恰好经过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线x=-1与椭圆相交于A、B两点，P是椭圆上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交定直线l：x=-4于两点Q、R，求证

OQ

•

OR

为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用圆的切线的性质即可求出椭圆的右顶点和上顶点，进而即可得到椭圆的方程；
（Ⅱ）设出点P的坐标，代入椭圆的方程即可得到关系式，点A，B的坐标易求出，写出直线AP，BP的方程，即可得到点Q，R的纵坐标，再利用向量的数量积即可证明．

解答：解：（Ⅰ） 观察知，x=2是圆的一条切线，切点为A₁（2，0），
设O为圆心，根据圆的切线性质，MO⊥A₁A₂，
∴kA1A2=-

1

kMO

=-

1

2

，
∴直线A₁A₂的方程为y=-

1

2

(x-2)．
直线A₁A₂与y轴相交于（0，1），依题意a=2，b=1，
所求椭圆的方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）椭圆方程为

x2

4

+y2=1，设P（x₀，y₀），A（-1，t），B（-1，-t），
则有

x

2 0

+4

y

2 0

-4=0，

1

4

+t2=1，
在直线AP的方程y-t=

t-y0

-1-x0

(x+1)中，令x=-4，整理得yQ=

(4+x0)t-3y0

(1+x0)

．①
同理，yR=

-3y0-(4+x0)t

(1+x0)

．②
①×②，并将

y

2 0

=1-

1

4

x

2 0

，t2=

3

4

代入得y_Q•y_R=

9 y 2 0 -(4+x0)2t2

(1+x0)2

=

9(1- 1 4 x 2 0 )-(4+x0)2• 3 4

(1+x0)2

=

-3(1+x0)2

(1+x0)2

=-3．
而

OQ

•

OR

=(-4，yQ)•(-4，yR)=16+yQ•yR=13为定值．

点评：熟练掌握圆的切线的性质、椭圆的标准方程及其性质、直线的点斜式、数量积的定义是解题的关键．注意体会设而不求的作用．