Question

已知圆的方程为x²+y²-6x-8y=0．设该圆过点（3，5）的两条弦分别为AC和BD，且AC⊥BD．则四边形ABCD的面积最大值为（　　）

• A．20

  6

• B．30

  6

• C．49
• D．50

Answer 1

分析：设两个圆心到直线的距离分别为a，b，可得a²+b²=1，根据S=

1

2

|AC|BD|=

1

2

×2

25-a2

×2

25-b2

，利用基本不等式，即可求得四边形ABCD的面积最大值．

解答：解：设两个圆心到直线的距离分别为a，b，则
∵x²+y²-6x-8y=0的圆心坐标为（3，4），半径为5，该圆过点（3，5）的两条弦分别为AC和BD，且AC⊥BD
∴a²+b²=1，
∴S=

1

2

|AC|BD|=

1

2

×2

25-a2

×2

25-b2

=2

25-a2

×

25-b2

≤25-a²+25-b²=49，
当且仅当a=b=

2

2

时，四边形ABCD的面积最大值为49
故选C．

点评：本题考查四边形的面积，考查圆的性质，考查基本不等式的运用，正确表示四边形的面积是关键．