Question

已知点P是椭圆上的在第一象限内的点，又A（2，0）、B（0，1），O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是    ．

Answer 1

【答案】分析：利用三角函数来解答这道题，椭圆方程上 里面的自变量x，y可以表示为 x=2cosa y=sina 本题中要求第一象限，这样就应该有0＜a＜π，设P为（2cosa，sina）这样四边形OAPB的面积就可以表示为两个三角形OAP和OPB面积之和，对于三角形OAP有面积S₁=sina 对于三角形OBP有面积S₂=cosa 这样四边形的面积S=S₁+S₂=sina+cosa也就相当于求解sina+cosa的最大值，0＜a＜π，sina+cosa=sin（a+）这样其最大值就应该为，并且当且仅当a=时成立．
解答：解：由于点P是椭圆上的在第一象限内的点，
 设P为（2cosa，sina）即x=2cosa y=sina （0＜a＜π），
这样四边形OAPB的面积就可以表示为两个三角形OAP和OPB面积之和，
对于三角形OAP有面积S₁=sina 对于三角形OBP有面积S₂=cosa
∴四边形的面积S=S₁+S₂=sina+cosa
=sin（a+）
其最大值就应该为，
并且当且仅当a=时成立．所以，面积最大值．
故答案为：．
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，解答的关键在于利用椭圆的参数方程设出椭圆上一点的坐标，利用三角函数的有界性求最值．