Question

选修4--1：几何证明选讲
如图，D为△ABC的BC边上的一点，⊙O₁经过点B、D，交AB于另一点E，⊙O₂经过点C、D，交AC于另一点F，⊙O₁、⊙O₂交于点G．求证：
（1）∠BAC+∠EGF=180°；
（2）∠EAG=∠EFG．

Answer 1

解：（1）连接GD，
∵四边形BDGE是圆内接四边形，
∴∠EGD+∠B=180°，同理可得∠FGD+∠C=180°，
∴∠EGD+∠B+∠FGD+∠C=360°，
∵∠EGD+∠FGD+∠EGF=360°，
∴∠B+∠C=∠EGF
∵△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°
∴∠BAC+∠EGF=180°．
（2）∵四边形AEGF中，∠BAC+∠EGF=180°．
∴四边形AEGF是圆内接内接四边形，
设外接圆为圆M，则圆M中∠EAG和∠EFG同对弧EG
∴∠EAG=∠EFG．
分析：（1）连接GD，由圆内接四边形的性质，可得∠EGD与∠B互补，∠FGD与∠C互补，从而∠EGD+∠B+∠FGD+∠C=360°，结合周角也等于360°，得到∠B+∠C=∠EGF，最后结合三角形内角和定理，得到∠BAC+∠EGF=180°．
（2）由（1）的结论，得到四边形AEGF是圆内接内接四边形，结合同弧所对的圆周角相等，得到∠EAG=∠EFG．
点评：本题以三角形内角和与圆内接四边形为例，考查了与圆有关的角相等和角互补的证明，属于基础题．