Question

巳知f（x）=（sinx+cosx）sinx，若|f（x₁）-

1

2

||≤|f（x）-

1

2

|≤||f（x₂）-

1

2

|，对?x∈R成 立，则|x₁-x₂|最小值为（　　）

• A、

  π

  8

• B、

  π

  4

• C、

  π

  2

• D、π

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：由题意可得|f（x₁）|为函数的最小值，|f（x₂）|为函数的最大值，故|x₂-x₁|的最小值为半个周期，再根据正弦函数的周期性可得结论．

解答： 解：∵f（x）=（sinx+cosx）sinx=sin²x+sinxcosx=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

∴若|f（x₁）-

1

2

||≤|f（x）-

1

2

|≤||f（x₂）-

1

2

|，对?x∈R成 立，
则有|sin（2x₁-

π

4

）|≤|sin（2x-

π

4

）|≤|sin（2x₂-

π

4

）|，对?x∈R成 立，

可得|f（x₁）|为函数的最小值，|f（x₂）|为函数的最大值，
故|x₂-x₁|的最小值为半个周期，即

1

2

×

π

2

=

π

4

，
故选：B．

点评：本题主要考查正弦函数的周期性和值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．