Question

f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在（-1，0）上的解析式
（2）证明：f（x）在（0，1）上是减函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），由已知式子和函数的奇偶性可得；（2）定义法：任取0＜x₁＜x₂＜1，变形可得f（x₂）-f（x₁）＜0，可判函数的单调性．

解答： 解：（1）设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），
∵x∈（0，1）时，f（x）=

2x

4x+1

，
∴f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

，
又∵f（x）为奇函数知，
∴-f（x）=

2x

4x+1

，∴f（x）=-

2x

4x+1

．
∴当x∈（-1，0）时，f（x）=-

2x

4x+1

；
（2）证明：任取0＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₂）-f（x₁）=

2x2

4x2+1

-

2x1

4x1+1

=

(2x1+x2-1)(2x1-2x2)

(4x1+1)(4x2+1)

，
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴2x1-2x2＜0，
又4x1+1＞0，4x2+1＞0，2x1+x2-1＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）．
∴f（x）在（0，1）上是减函数．

点评：本题考查函数的单调性的判断与证明，涉及函数解析式的求解，属基础题．