Question

已知集合A＝{x|x²＋a≤|a＋1|x，a∈R}

(1)求A；

(2)若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S_n，对于任意的n∈N₊，均有S_n∈A，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由 　　当a＞1时，1≤x≤a，当－1≤a≤1时，a≤x≤1，当a＜－1时，－1≤x≤－a． 　　综上，当a＞1时，A＝{x|1≤x≤a}，∴当－1≤a≤1时，A＝{x|a≤x≤1}；当a＜－1时，A＝{x|－1≤x≤－6}．　　6分 　　(2)当a≥1，A＝{x|1≤x≤a}．而S2＝a＋a2A，故a≥1时，不存在满足条件a　　7分 　　当0＜a＜1时，A＝{a≤x≤1}，而是关于n的增函数，所以Sn随n的增大而增大，当且无限接近时，对任意的，只须a满足 　　　　10分 　　当a＜－1时，A＝{x|－1≤x≤－a}　显然S1＝aA，故不存在实数a满足条件 　　当a＝－1时，A＝{x|－1≤x≤1}．S2n+1＝－1，S2n＝0适合 　　当－1＜a＜0时，A＝{x|a≤x≤1}． 　　S2n－1＝S2n－1＋a2n＋a2n+1＝S2n－1＋a2n＋a2n+1＝S2n－1＋a2n(1＋a)＞S2n－1， 　　S2n－2＝S2n＋a2n+1＋a2n+2＝S2n＋a2n+1＋a2n+2＝S2n＋a2n+1(1＋a)＜S2n， 　　∴S2n－1＜S2n+1，S2n+2＜S2n且S2＝S1＋a2＞S1，S2n+1＝S2n＋a2n+1＝S2n＋a2n+1＜s2n 　　故S1＜S3＜S5＜…＜S2n－1＜S2n+1＜…＜S2n＜S2n－2＜…＜S4＜S2． 　　故只需　　13分 　　综上所述，a的取值范围是{}　　14分