Question

已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….

(Ⅰ)令  (Ⅱ)求数列

(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。

Answer 1

解：（I）由已知得 

又

是以为首项，以为公比的等比数列.

（II）由（I）知，

将以上各式相加得：

               

（III）解法一：

存在，使数列是等差数列.

数列是等差数列的充要条件是、是常数

即

又

当且仅当，即时，数列为等差数列.

解法二：

存在，使数列是等差数列.

由（I）、（II）知，

又

当且仅当时，数列是等差数列.

解析:

解：（I）由已知得 

又

是以为首项，以为公比的等比数列.

（II）由（I）知，

将以上各式相加得：

               

（III）解法一：

存在，使数列是等差数列.

数列是等差数列的充要条件是、是常数

即

又

当且仅当，即时，数列为等差数列.

解法二：

存在，使数列是等差数列.

由（I）、（II）知，

又

当且仅当时，数列是等差数列.