Question

已知(1+2

x

)n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的

5

6

．
（1）求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；
（2）求展开式中的有理项．

Answer 1

分析：利用展开式项的系数，由已知，求出n，
（1）令x=1，得展开后所有项的系数之和
（2）令展开式中x的指数为整数，求出有理项．

解答：解：(1+2

x

)n的展开式的通项Tr+1=

2rC

r n

x

r

2

，由已知，得出

2rC r n =2• 2r-1C r-1 n   ① 2rC r n = 5 6 2r+1C r+1 n  ②

  化简

C r n = C r-1 n   ① C r n = 5 3 C r+1 n  ②

，

r+(r-1)=n n-r r+1 = 3 5

解得

r=4 n=7

（1）在展开式两端令x=1，得展开后所有项的系数之和 为3⁷=2187．
所有项的二项式系数之和 2⁷=128．
（2）当

r

2

为整数时，项为有理项．所以r=0，2，4，6．
有理项分别为 1，2²C₇²x=84x，2⁴C₇⁴x²=560x²，2⁶C₇⁶x³=448x³．

点评：本题考查二项式定理的应用，求项的系数、有理项．考查赋值、计算能力．本题需先求出n的值．