Question

【题目】如图，已知圆N：x2+（y+ ）2=36，P是圆N上的点，点Q在线段NP上，且有点D（0， ）和DP上的点M，满足 =2 ， =0．
（1）当P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；
（2）若斜率为 的直线l与（1）中所求Q的轨迹交于不同两点A、B，又点C（ ，2），求△ABC面积最大值时对应的直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，MQ是线段DP的中垂线，∴|NP|=|NQ|+|QP|=|QN|+|QD|=6＞|DN|=2 ，

∴Q的轨迹是以D，N为焦点的椭圆，且c= ，a=3，b=2，

∴求点Q的轨迹方程是 =1

（2）解：设l：y= x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

与椭圆联立，可得9x2+6mx+2m2﹣18=0，

x1+x2=﹣ m，x1x2= （2m2﹣18），

|AB|= = ，

C（ ，2）到直线l的距离d= ，

S= = ，

∴m=±3时，S最大，此时直线l的方程为y= x±3

【解析】（1）当P在圆上运动时，利用椭圆的定义，求点Q的轨迹方程；（2）△ABC的面积取到最大值问题，要先建立关于某个自变量的函数，后再求此函数的最大值即可．