Question

已知f（x）=的图象向左平移m个单位（m＞0），得到的图象关于直线对称．
（1）求m的最小值；
（2）已知方程f（x）=p在（0，π）内有两个不相等的实根x₁，x₂，求p的取值范围及x₁+x₂的值．

Answer 1

解：（1）f（x）图象左移m个单位得到的函数表达式为y=…（2分）
又该图象关于直线对称，，k∈Z…（4分）
得到，…（5分）
∵m＞0，
∴当k=5时，m的最小值为…（6分）
（2）设，0＜x＜π，则，…（7分）
f（x）=p在（0，π）内有两个不相等的实根，
则在内有两个不相等的实根，…（8分）
数形结合可得 ，且，…（11分）
则且p≠3…（12分）
当时t₁+t₂=2π；当时t₁+t₂=4π．
即…（13分）
∴…（14分）
分析：（1）由题意可得平移后的函数解析式为y=，又由三角函数在其对称轴处取得最值，可得时，y=取得最值，即可得m所有可能值，进而可求m的最小值；
（2）由于与三角型函数有关的方程有两解，可以转化为y=f（x）与y=p的图象有两个交点，利用数形结合来做．
点评：本题考查了三角函数图象变换及三角函数的一些性质．注意三角函数的有关题目常用数形结合来解决．