Question

设函数f ( x )的定义域、值域均为R，f ( x ) 反函数为f¹ ( x ),且对任意实数x，均有f ( x ) + f¹ ( x )＜。定义数列{a_n} : a₀ = 8 , a₁ = 10 , a_n = f (a_n1 ) , n = 1, 2 , … .

（1）求证：a_n+1 + a_n1＜a_n ( n = 1 , 2 , … ) ;

（2）设求证：；

（3）是否存在常数A和B，同时满足；

①当n = 0 及n = 1 时，有a_n =成立；

②当n = 2 , 3, … 时，有a_n＜成立。

 如果存在满足上述条件的实数A、B的值；如果不存在，证明你的结论。

Answer 1

解：（1）∵f ( x ) + f¹ ( x )＜x ,令x = a_n , 则f ( a_n ) + f¹ ( a_n )＜ a_n 

a_n+1 + a_n1＜ a_n

（2）∵a_n+1＜ a_n a_n1           

∴a_n+1 2a_n＜( a_n 2a_n1 )  即b_n＜b_n1

∵b₀ = a₁ 2a₀ = 6

∴ b_n＜

（3）由（2）可知：b_n＜

假设存在常数A和B，使得a_n对n = 0, 1 成立。则

 解得A = B = 4

下面用数学归纳法证明a_n＜对一切n≥2，n∈N*成立.

1)当n = 2时，由a_n+1 + a_n1＜a_n , 得a₂＜a₁ a₀ =

∴n = 2时，a_n＜成立。

2）假设 n = k ( k≥2 )时，不等式成立，即a_k＜，则

a_k+1＜2a_k + ( 6 ) ＜2×+( 6 ) =，

这说明n = k+1 时，不等式成立。

综合1），2），可知a_n＜对一切n≥2，n∈N成立。

∴A = B = 4 满足题设