Question

为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC的草坪，且PQ∥BC，RQ⊥BC，另外△AEF的内部有一文物保护区．AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m．     
（1）求直线EF的方程．
（2）应如何设计才能使草坪的占地面积最大？

Answer 1

分析：（1）建立平面直角坐标系，直线EF过点E（30，0），F（0，20），其方程由截距式可得；
（2）点Q在直线EF上，可设点Q（x，20-

2

3

x），矩形PQRC的面积S=（100-x）•[80-（20-

2

3

x）]，计算S取最大值时对应的x的值，从而得点Q的坐标即可．

解答：解：（1）建立坐标系如图所示，在线段EF上任取一点Q，分别向BC，CD作垂线．
由题意，直线EF的方程为：

x

30

+

y

20

=1；
（2）设Q（x，20-

2

3

x），则矩形PQRC的面积为：S=（100-x）•[80-（20-

2

3

x）]（其中0≤x≤30）；
化简，得S=-

2

3

x²+

20

3

x+6000  （其中0≤x≤30）；
所以，当x=-

20 3

2×( - 2 3 )

=5时，此时y=20-

2

3

×5=

50

3

，即取点Q（5，

50

3

）时，S有最大值，最大值为6016

2

3

m²．

点评：本题考查了直线方程和二次函数模型的应用，利用二次函数的对称轴求最大值时，要考虑对称轴是否在定义域内．