Question

下列说法中：
①若定义在R上的函数f（x）满足f（2）＞f（1），则函数f（x）在R上不是单调减函数；
②定义在R上的函数f（x）在区间（-∞，1]上是单调减函数，在区间（1，+∞）上也是单调减函数，
则函数f（x）在R上是单调减函数；
③对于定义在R上的函数f（x），若f（-2）=f（2），则f（x）不可能是奇函数；
④f（x）=

2013-x2

+

x2-2013

既是奇函数又是偶函数．
其中正确说法的序号是

①④

．

Answer 1

分析：①转化为其等价命题判断；②③举反例；④利用奇偶函数的定义判断．

解答：解：对于①，等价于“若f（x）在R上是单调减函数，则函数f（x）满足f（2）≤f（1）”，显然是真命题；
对于②，给出函数f（x）=

-x，x≤1 1 x ，x＞1

，在区间（-∞，1]上是单调减函数，在区间（1，+∞）上也是单调减函数，
但函数f（x）在R上不单调，故②为假命题；
对于③，给出函数y=x³-4x，满足f（-2）=f（2），但f（x）是奇函数，说明③是假命题；
对于④，由

x2≤2013 x2≥2013

，得x=±

2013

，定义域为{-

2013

，

2013

}，关于原点对称，
且f（x）=0，满足f（-x）=-f（x）及f（-x）=f（x），故④为真命题；
故答案为：①④．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力．